Презентация на тему "Л.4. ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Л.4. ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

• 
  Слайд 2

  ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ

  Зеркальное отражение от некоторой точки (симметрия относительно точки) равносильна повороту вокруг этой точки на 180°. Это преобразование переводит всякую прямую в параллельную ей прямую. Фигура называется центрально-симметричной, если существует зеркальное отражение относительно некоторой точки, отображающее эту фигуру на себя.

• 
  Слайд 3

  Центральная симметрия

• 
  Слайд 4
  

  Таковы например, параллелограмм, окружность, плоскость и так далее. Рассмотрим на плоскости некоторый многоугольникALA2. . . Ап с нечетным числом сторон (на рисунке изображен пятиугольник).

• 
  Слайд 5
  

  Построение многоугольника с нечетным числом сторон по серединам его сторон

• 
  Слайд 6
  

  Если произвольную точку Р1 той же плоскости соединить с точкой А1, а затем зеркально отразить отрезок Р1А1 по очереди от сере дин каждой из сторон многоугольника, то зеркальные образы Р2А2, Р3А3,. . ., РпАп будут равны и параллельныотрезку Р1A1,

• 
  Слайд 7
  

  поэтому последний образ. то есть отрезок Рп+1А1, лежит на одной прямой с отрезком Р1А1 причем точки Рп+1 и Р1 расположены симметрично относительно точки A1 Это дает возможность построить многоугольник с нечетным числом сторон, если заданы лишь середины его сторон.  

• 
  Слайд 8
  

  Действительно, если зеркально отразить точку Р1 по очереди от середин всех сторон, то середина отрезка, соединяющего точку Р1 с последним образом, окажется как раз вершиной А1 искомого многоугольника.

• 
  Слайд 9

  ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ОТ ОСИ

  Зеркальное отражение от оси является таким преобразованием совмещения на плоскости, которое всякой фигуре ставит в соответствие ее зеркальный образ относительно этой оси. Точки, между которыми устанавливается соответствие, лежат по раз­ные стороны от оси на одинаковом расстоянии от нее; соединяющий их отрезок перпендикулярен оси.

• 
  Слайд 10

  Осевая симметрия

• 
  Слайд 11
  

  Прямая и ее зеркальный образ относительно оси пересекают ось в одной точке или же параллельны ей. Если существует такое зеркальное отражение относительно некоторой оси, которое отображает фигуру на себя, то эта фигура называется симметричной. Таковы, например, прямая, окружность, квадрат и так далее.

• 
  Слайд 12
  

  В природе симметричные или по крайней мере приближенно симметричные фигуры встречаются очень часто. Примером могут служить цветы, листья и строение организмов живых существ. Такая симметрия часто используется в строительстве, в изобразительном искусстве, при изготовлении украшений и так далее. В геометрии также нередко применяются рассуждения, в которых симметрия играет весьма важную роль.

• 
  Слайд 13
  

  На плоскости осью симметрии отрезка прямой является перпендикулярная прямая, делящая отрезок пополам, а осью симметрии угла — его биссектриса. Таким образом, совокупность точек, каждая из которых одинаково удалена от концов данного отрезка, есть перпендикулярная прямая, делящая отрезок пополам, а совокупность точек, каждая из которых одинаково удалена от сторон данного угла, есть биссектриса угла.

• 
  Слайд 14
  

  Отметим, что совокупность или множество точек, обладающих некоторым общим свойством, часто называют геометрическим местом точек, обладающих данным свойством. Так, например, ось сим­метрии отрезка прямой на плоскости является геометрическим местом точек, каждая из ко­торых одинаково удалена от концов отрезка.

• 
  Слайд 15

  Кратчайший путь из А и В, касающийся прямой e

• 
  Слайд 16
  

  Рассмотрим на плоскости прямуюeи точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. Определим кратчайший путь, ведущий от А до прямой, а затем в В. Для этого найдем кратчайший путь из точки А' (зеркального образа А относительно прямой e) в точку В.

• 
  Слайд 17
  

  Очевидно, что это отрезок прямой, соединяющий А' и В. Наши рассуждения основанына том, что расстояние от точки А до любой точки прямой e равно расстоянию от ее зеркального образа А' до той же точки.

• 
  Слайд 18
  

  Нетрудно заметить, что построенный таким образом кратчайший путь совпадает с траекторией светового луча, который, выходя из точки А, отражается от зеркала, проходящего через прямуюe перпендикулярно плоскости, а затем попадает в В (угол падения равен углу отражения).

• 
  Слайд 19

  Определение вписанного треугольника с наименьшим периметром

• 
  Слайд 20
  

  Рассмотрим теперь остроугольный треугольникABC. Пусть требуется определить кратчайший путь, ведущий из некоторой точки P стороны AB к стороне АС, отсюда к стороне ВС , а затем обратно в точку Р. Воспользуемся методом, примененным выше.

• 
  Слайд 21
  

  ЕслиP' — зеркальное отражение точки P относительно стороны АС, а точка P" — относительно стороны ВС, то искомый путь равен отрезкуP'P". Этот отрезок пересекает стороны треугольника в точкахQ иR, следовательно, кратчайшим путем является контур треугольникаPQR.

• 
  Слайд 22
  

  Тем самым мы построили треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник (то есть его вершины лежат на сторонах треугольникаABC) и удовлетворяющий тому условию, что одна из его вершин совпадает с данной точкойР.

• 
  Слайд 23
  

  Периметр вписанного таким образом треугольника зависит, естественно, от выбора точки Р. Если мы теперь хотим определить положение точки P, при котором треугольникPQR имеет наименьший периметр, то следует принять во внимание, что стороны CP' и CP" треугольника P'CP" являются зеркальными образами отрезкаCP, то есть равны между собой.

• 
  Слайд 24
  

  Отсюда следует также, что угол P'CP" вдвое больше, чем уголACBтреугольникаABC, то есть не зависит от выбора точки Р. Следовательно, наименьший периметр имеет тот из треугольниковP'CP", который имеет наименьшее ребро, то есть для которого соответствующий отрезок CP имеет наименьшую длину.

• 
  Слайд 25
  

  Среди преобразований совмещения зеркальное отражение от оси играет особую роль. Любое преобразование совмещения может быть получено в результате последовательного выполнения нескольких зеркальных отражений (то есть как произведение нескольких зеркальных отражений).

• 
  Слайд 26

  Последовательное отражение от пересекающихся осей равносильно повороту

• 
  Слайд 27

  Последовательное отражение от параллельных осей равносильно переносу

• 
  Слайд 28
  

  Среди преобразований совмещения зеркальное отражение от оси играет особую роль. Любое преобразование совмещения может быть получено в результате последовательного выполнения нескольких зеркальных отражений (то есть как произведение нескольких зеркальных отражений).

• 
  Слайд 29
  

  Последовательное отражение от двух пересекающихся прямых равносильно повороту вокруг точки их пересечения на угол, вдвое превышающий угол между этими прямыми. Произведение отражений от двух параллельных осей равносильно переносу в направлении, перпендикулярном осям, на расстояние, вдвое превышающее расстояние между ними.

• 
  Слайд 30
  

  Две совместимые фигуры на плоскости всегда могут быть переведены одна в другую при помощи самое большее трех последовательных зеркальных отражений.