Презентация на тему "МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

  y x Коэффициенты ряда Фурье: π 2π ωt 2π π ωt y =F(x) x x φ1 φ2 φ3 φ4 φ1 φ2 φ3 φ4 Методом фазовой плоскости можно исследовать только системы второго порядка. Для исследования систем более высокого используются методы приближённого иссле-дования. Наиболее распространённым методом является метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса). Метод широко используется для исследования колебательных режимов нелинейных систем. Суть метода гармонической линеаризации Предположим, на вход нелинейного звена со статической характеристикой y = F(x) (рисунок 1) подан гармонический сигнал x = a∙sinωt, (1) F(x) Рисунок 1 где а – амплитуда сигнала; ω– круговая частота. На выходе получим сигнал y =F(x)= F(a∙sinωt) (см. рис. 2). где n– номер гармоники. Рисунок 2 Так как выходной сигнал нелинейного звена пе-риодический, его можно разложить в ряд Фурье: y

• 
  Слайд 2
  

  Нелинейную систему в этом режиме можно рассматривать как линейную (точнее – гармонически линеаризованную). Следовательно, можно считать, что в колебательном режиме на входе нелинейности будет воздействие x ≈ a∙sinωt. А0 – постоянная составляющая выходного сигнала. При симметричных колебаниях А0 = 0. Как правило, амплитуда первой гармоники больше амплитуд более высоких гармоник. В нелинейных системах выделяют нелинейное звено и линейную часть (рисунок 3): F(x) x y Wл(р) Рисунок 3 Степень полинома знаменателя передаточной функции линейной части обычно выше степени полинома числителя. При этом АЧХ линейной части имеет вид, как на рисунке 4 (с пропорциональным 1 или интегральным 2 регуляторами). 1ω ω А(ω) 2ω 3ω 1 2 Рисунок 4 По АЧХ видно, что линейная часть выполняет роль фильтра – первая гармоника пропускается с большим усилением, чем более высокие гармоники. Первая гармоника на выходе нелинейности имеет самую боль-шую амплитуду и легче всего проходит через линейную часть. Обязательное условие: 1-я гармоника наибольшая, линейная часть выполняет роль фильтра!

• 
  Слайд 3
  

  Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена из (8) Уравнение (2) при выполнении указанных условий для случая симметричных колебаний (А0 = 0) запишется как Введём обозначения Уравнение (5) запишется как Но, согласно (1), a∙sinωt = x. Тогда где q(a) и qʹ(a) – коэффициенты гармонической линеаризации. Правая часть (8) линейна при постоянной амплитуде а (иногда и частоте ω) колеба-ний. Следовательно, в колебательном процессе (например, в режиме автоколебаний) нелинейность можно рассматривать как линейное звено. Но коэффициенты этого ли-нейного звена будут зависеть от амплитуды колебаний. а АФЧХ (подставим в (9) p = jω) АФЧХ нелинейности зависит только от амплитуды и не зависит от частоты. Подставив в (7), получим уравнение гармонически линеаризованной нелинейности:

• 
  Слайд 4
  

  Интегрируя выходной сигнал нелинейного звена y = F(x) = F(a∙sinωt) по формулам (10), получим выражения для коэффициентов гармонической линеаризации для любого вида нелинейности. Коэффициенты гармонической линеаризации Коэффициенты ряда Фурье (4) для первой гармоники Тогда коэффициенты гармонической линеаризации (6): Примеры определения коэффициентов гармонической линеаризации Предположим, что нелинейное звено имеет идеальную релейную харак-теристику (рисунок 5, а). При подаче на вход звена синусоидального сигнала, выход-ной сигнал будет иметь вид, показанный на рисунке 5, б). Пример 1.

• 
  Слайд 5
  

  Пример 2. Характеристика однозначная релейная с зоной нечувствительности (рису-нок 6). а) откуда Рисунок 5. y =F(x) ωt=ψ π 2π б) в) Для удобства обозначим ωt=ψ. Проинтегрируем на половине периода: Следовательно, при исследовании колебательных режимов такое нелинейное звено может быть представлено как идеальное линейное с передаточным коэффициентом q. Характеристика гармонически линеаризованного звена показана на рисунке 5,аштрихо-вой линией. Наклон характеристики (коэффициент q) зависит от амплитуды колебаний. y x c -c q a Зависимость q(а) показана на рисунке 5,в. Для коэффициента qʹ: c F(x) 2π π ψ x -c b -b F(x) ψ1 а) б) Рисунок 6. или

• 
  Слайд 6
  

  Так как харак-теристика нелинейности однозначная (без петель), qʹ= 0. Переключение происходит при x = b, то есть a∙sinψ1 = b. Отсюда q a b Следовательно Зависимость q(a) для такой нелинейности приведена на рисунке 7. Рисунок 7 c F(x) 2π π ψ x -c b -b F(x) ψ1 а) б) Рисунок 8 Пример 3. Релейная петлевая характеристика (рисунок 8). Рисунок 9 q a b a b Учтя, что Зависимости q(a) и qʹ(a) приведены на рисунке 9. Проведя аналогичные вычисления, получим получим qʹ

• 
  Слайд 7
  

  2.Для прочих видов нелинейностей, в том числе нечётно-симметричных петлевых (пример 3) коэффициент qʹ(а) ≠ 0. Гармоническая линеаризация широко используется для исследования режимов ав-токолебаний в нелинейных системах, так как позволяет использовать математический аппарат, применяемый для исследования линейных систем. Из рассмотренных примеров видно, что: Передаточная функция и АФЧХ нелинейности: 1. Если нечётно-симметричная нелинейность однозначна (например, как в примерах 1 и 2), то коэффициент qʹ(а) = 0. Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейности при этом а АФЧХ Усиление амплитуды и фаза первой гармоники на выходе нелинейности Усиление амплитуды и фаза первой гармоники на выходе нелинейности Для типовых нелинейностей коэффициенты q(а) и qʹ(а) приведены в литературе.