Презентация на тему "Теорема Стюарта. Круги Аполлония."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема Стюарта. Круги Аполлония.

  Работа ученицы 9В класса Черней Ксении

• 
  Слайд 2
  

  Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне или ее продолжении, называется чевианой.

• 
  Слайд 3

  Теорема Стюарта.

  Теорема была сформулирована М. Стюартом (1746), но, возможно, была известна Архимеду. Иногда ее называют теоремой Аполлония. Из теоремы Стюарта, в частности, выводятся формулы для длины медианы и биссектрисы треугольника.

• 
  Слайд 4

  Теорема Стюарта.Формулировка

  Теорема: Формула, связывающая длину чевианы, проведенной к основанию треугольника (точнее, ее квадрат), с длинами отрезков, на которые она делит основание, и боковыми сторонами:

• 
  Слайд 5

  Доказательство

   Дано:  ABC DЄBC Доказать: Доказательство: Для доказательства используем теорему косинусов: a2= b2+c2 – 2bc*cosA , откуда cosA= ДляABC: cosB= Для ABD: cosB=

• 
  Слайд 6
  

  Приравниваем правые части и домнажаем на 2AB = По свойству пропорций: , то есть Теорема доказана.

• 
  Слайд 7

  Вычисление медианы треугольника:

  Дано: ABC a, b, c- стороны треугольника ac , ab - части a ma- медиана к стороне a Найти: ma

• 
  Слайд 8
  

  Решение: По Теореме Стюарта ma2a=c2ab+b2ac- Тк ma – медиана к а по условию, то ab=ac Отсюда ma= ma=

• 
  Слайд 9

  Вычисление биссектрис треугольника:

  Дано: ABC a, b, c- стороны треугольника ac , ab - части a la- биссектриса к стороне a Найти: la

• 
  Слайд 10
  

  la2a=c2ab+b2ac-abaca (по Теореме Стюарта la2= По свойству биссектрис:   , откуда ab=  ; ac= la2=   то есть la=

• 
  Слайд 11

  Решение задач

  Дано: ABC, AD– биссектриса угла A, AB=14 см, BC=20 см, AC= 21 см Найти: AD 1)По свойству биссектрисы: Пусть BD=x 21x=14(20-x) x= 8(см), т.е. DC=12 (см) Решение: 2) По Теореме Стюарта

• 
  Слайд 12
  

  Дано: ABC, AD – медиана к BC, AB=12см, BC=16см, AC= 20 см Найти: AD Решение: Медиана делит сторону пополам: BD=DC=8(см) По теореме Стюарта:

• 
  Слайд 13
  

  Дано: ABC DÎ AC Окружность l1 вписана в ABD касаетсяBD в точке С Окружность l2 вписана в BСD касаетсяBD в точке N Отношение радиусов окружностей l1и l2 – 7:4 BM=3; MN=ND=1 Найти длины сторон ABC

• 
  Слайд 14
  

  1)Пусть AK=AL=x, CP=CQ=y. Тогда p ABD=x+5 и p BCD=y+5 2) , откуда 3xy-13x+27y-5=0; 3) По Теореме Стюарта из ABC

• 
  Слайд 15
  

  4) Из (2) и (3) составляем систему 3xy-13x+27y-5=0; Откуда получаем, что x=7 и y=2 Отсюда AB=10, BC=6, AC=12

• 
  Слайд 16

  Окружности Аполлония

  Пусть на плоскости даны две точки А и В . Рассмотрим все точки М этой плоскости, до каждой из которых , где k— фиксированное положительное число. Приk>1указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

• 
  Слайд 17
  

  В данной системе координат точка B имеет координаты (0; 0), а точка A – (a; 0), где a > 0. Пусть M (x, y) – произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, то есть AM = k · BM, где k – заданное положительное число. Из теоремы о длине вектора:

• 
  Слайд 18
  

          Выделив полный квадрат, получим: Это уравнение окружности с центром в точке и радиуса Полученная окружность называется окружность Аполлония, носит имя древнегреческого геометра Аполлония , решившего поставленную задачу чисто геометрическим методом. M

• 
  Слайд 19
  

  Спасибо за внимание